Если мошенники EXANTE Вас кинули, то сообщите об этом нам

Мидхат Газале: От фараонов до фракталов на рынке валютной торговли

От фараонов до фракталов на рынке Форекс
От фараонов до фракталов на рынке Форекс

Удивительной спиралью Бернулли я заинтересовался еще будучи студентом технологического факультета Каирского университета (хотя этот интерес так и не достиг того мистического накала, каким характеризовалось отношение к своему открытию самого Бернулли), в особенности же меня интриговало се родство с фазовыми картинами систем затухающих колебаний, изучаемых в технических школах и колледжах. Почему, спрашивал я себя, уравнения, описывающие колебания простого маятника, в точности совпадают с уравнениями индуктивпо-емкостно-рсзистивного контура, если не считать того, что математические символы в каждом из случаев имеют различный физический смысл?

Числа Фибоначчи имеют сходство с дробями и спиралями

Разумеется, в рассматриваемых физических системах неизбежно происходят потери энергии, в результате чего эти системы приходят в конце концов в состояние покоя. Почему же спиральная фазовая картина одинаково хорошо описывает характер зависимости друг от друга обеих пар величин (т. с. координаты точки и ее скорости в одном случае и напряжения и силы тока в другом)?

Подобно многим другим практикам от математики, я одно время забавлялся с числами Фибоначчи, отмечая их поразительное сродство с непрерывными дробями и спиралями. Кстати говоря, в основе некоторых разработавшых мною типов электрических фильтров лежат именно непрерывные дроби. В свободное время я собирал из струн и блоков маленькие механизмы, способные вычислить квадратный корень из двух и преобразовать число из двоичной записи в десятичную и обратно. После определенного ознакомления с непрерывными дробями, связанного с необходимостью вычисления иррациональных величин, выяснилось, что идеальными метафорами для этих в высшей степени необыкновенных дробей являются прямые предшественники логарифмической спирали так насыпаемые витые фигуры.

Я не нашел в себе сил сопротивляться очарованию золотого сечения и его много численного семейства, а когда узнал из статьи Иэиа Стюарта в «Сайентифик Америкен» о числах Падована, так и вовсе пришел в полный восторг. Рассматривая равносторонние треугольники, я неожиданно обнаружил странный маленький пятиугольник, обладающий некоторыми интересными свойствами золотого прямоугольника, и назвал его, по аналогии, серебряным пятиугольником.

прямые предшественники логарифмической спирали
прямые предшественники логарифмической спирали

Изящная генерация простых фракталов

Познакомившись с «Фрактальной геометрией природы» Бенуа Ман-дельброта2 и «Красотой фракталов» Хайнца Пайтгена и Петера Рихтера3, я вспомнил о своей докторской диссертации 1959 года, в которой я широко пользовался кронекеровым произведением, и нашел, что это самое произведение способно весьма изящно генерировать простые фракталы т.е. в большинстве случаев самоподобные фигуры и узоры.

Я никуда не мог скрыться от логарифмических спиралей они заполонили все вокруг! Казалось, что логарифмическая спираль олицетворяет собой самую сущность самоподобия, для обозначения которого я даже изобрел собственный термин гнолюшюсть. Именно самоподобие является центральным понятием этой книги.

Определение гномона было дано еще Героном Александрийским. По Герону, гномон это фигура (под термином фигура здесь понимается геометрическая фигура или просто число), которая, будучи добавлена к какой-либо другой фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной.

Вводная глава посвящена самому термину гномон^ истории его возникновения и употребления. Начнем мы с исторического обзора поговорим о гномонах в Древней Греции, развеем некоторые широко распространенные заблуждения, согласно которым египетские обелиски являются гномонами, и проследим этимологию слова гномон в его самом первом значении («нечто, что позволяет узнать») до древнеегипетских слов сетшат и меркхет.

история гномона в Древней Греции
история гномона в Древней Греции

Математические свойства серебряного пятиугольника

На основании последовательности Падована я построил оригинальную фигуру («серебряный пятиугольник»), родственную по своим математическим свойствам золотому прямоугольнику. В конце главы VII мы познакомимся с необычной фигурой, называемой улиткой и впервые описанной С. Голомбом под названием «реп-тайл», эту фигуру Кронскср, скорее всего, не стал бы рассматривать, сочтя ее нефинитной.

Ни одна геометрическая фигура не воплощает концепцию самоподобия лучше, чем чудесная логарифмическая спираль Бернулли. В главе VIII вниманию читателя предлагается поэтапный анализ постепенно усложняющихся матриц поворота, описывающих поведение логарифмической спирали. В конце главы приводится общее решение для затухающих колебаний с характерной спиральной фазовой картиной. Полученные результаты вполне применимы к описанию поведения простого маятника и электрического резистивно-индуктивно-смкостного контура; при этом необходимость в анализе отсутствует, достаточно одних лишь методов конечных разностей.

Книга о самоподобии не может считаться законченной, если в ней не упоминается о фракталах. После того как вышел в свет основополагающий труд Мандельброта, о фракталах и их приложениях едва ли не ко всякой области человеческой деятельности, от так называемых точных наук до менее строгих гуманитарных, исписаны уже целые тома. В мои намерения отнюдь не входит создание очередного учебного курса о фракталах. Напротив, представленный в последней главе подход несколько отличается от общепринятого, так как в его основе лежат теоретико-числовые соображения. Кроме того, там можно найти несколько оригинальных фрактальных фигур моего собственного «изготовления».

общее решение для затухающих колебаний
общее решение для затухающих колебаний

Источники и ссылки

с Forex2 info / Форекс 2 инфо